Question

（）（本小题满分12分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC,D、E分别为AA₁、B₁C的中点，DE⊥平面BCC₁

（Ⅰ）证明：AB=AC w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B₁C与平面BCD所成的角的大小

Answer 1

：解法一：（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF，从而EFDA.

连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE.又DE⊥平面，故AF⊥平面，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC.

（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG.由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角.由题设知，∠AGC=60^0..

    设AC=2，则AG=.又AB=2，BC=，故AF=.

由得2AD=，解得AD=.

故AD=AF.又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形.

因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF.

连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD.

连接CH，则∠ECH为与平面BCD所成的角.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC==2，

所以∠ECH=30⁰，即与平面BCD所成的角为30⁰.

解法二：

（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz.

设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，，c）.

于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC， =0，求得b=1，所以    AB=AC.

（Ⅱ）设平面BCD的法向量则又=（-1，1，

                         

0），=（-1，0，c）,故                  

令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ).

又平面的法向量=（0，1，0）

由二面角为60°知，=60°，

故  °，求得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

于是   ， 

，

            °

所以与平面所成的角为30°

解析:

：要证明AB=AC w，，只需证明底边上的中线和底边垂直即可，所以这里要 

做辅助线.已知二面角的大小，做题过程要落实，从而找到个棱长的关系，

做二面角的平面角常常利用三垂线定理和逆定理.要证明B₁C与平面BCD所成

的角，需要找到垂线和垂面.

       因为这是一个直棱柱，且AB⊥AC，所以可以建立空间直角坐标系，

利用空间向量证明和求解，常用平面的法向量求线面角.