【题目】已知函数,
,其中
为自然对数的底数.
(1)若,求曲线
在点
处的切线斜率;
(2)证明:当时,函数
有极小值,且极小值大于
.
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【题目】甲、乙两名同学准备参加考试,在正式考试之前进行了十次模拟测试,测试成绩如下:
甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133
乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146
(1)画出甲、乙两人成绩的茎叶图,求出甲同学成绩的平均数和方差,并根据茎叶图,写出甲、乙两位同学平均成绩以及两位同学成绩的中位数的大小关系的结论;
(2)规定成绩超过127为“良好”,现在老师分别从甲、乙两人成绩中各随机选出一个,求选出成绩“良好”的个数的分布列和数学期望.
(注:方差,其中
为
的平均数)
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【题目】函数图象上不同两点
,
处切线的斜率分别是
,
,规定
(
为线段
的长度)叫做曲线
在点
与
之间的“弯曲度”,给出以下命题:
①函数图象上两点
与
的横坐标分别为1和2,则
;
②存在这样的函数,图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数;
③设点,
是抛物线
上不同的两点,则
;
④设曲线(
是自然对数的底数)上不同两点
,
,且
,若
恒成立,则实数
的取值范围是
.
其中真命题的序号为__________.(将所有真命题的序号都填上)
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【题目】已知函数f(x)=ax+ln(x-1),其中a为常数.
(1)试讨论f(x)的单调区间;
(2)当a=时,存在x使得不等式
成立,求b的取值范围.
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【题目】某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数(Air Pollution Index)的监测数据,结果统计如下:
大于300 | |||||||
空气质量 | 优 | 良 | 轻微污染 | 轻度污染 | 中度污染 | 中度重 污染 | 重度污染 |
天数 | 10 | 15 | 20 | 30 | 7 | 6 | 12 |
(Ⅰ)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有7天为重度污染,完成下面列联表,并判断能否有
的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关?
非重度污染 | 重度污染 | 合计 | |
供暖季 | |||
非供暖季 | |||
合计 | 100 |
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
附:
(Ⅱ)政府要治理污染,决定对某些企业生产进行管控,当在区间
时企业正常生产;当
在区间
时对企业限产
(即关闭
的产能),当
在区间
时对企业限产
,当
在300以上时对企业限产
,企业甲是被管控的企业之一,若企业甲正常生产一天可得利润2万元,若以频率当概率,不考虑其他因素:
①在这一年中随意抽取5天,求5天中企业被限产达到或超过的恰为2天的概率;
②求企业甲这一年因限产减少的利润的期望值.
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【题目】(本小题12分)如图,在海岸线一侧有一休闲游乐场,游乐场的前一部分边界为曲线段
,该曲线段是函数
,
的图像,图像的最高点为
.边界的中间部分为长
千米的直线段
,且
.游乐场的后一部分边界是以
为圆心的一段圆弧
.
(1)求曲线段的函数表达式;
(2)曲线段上的入口
距海岸线
最近距离为
千米,现准备从入口
修一条笔直的景观路到
,求景观路
长;
(3)如图,在扇形区域内建一个平行四边形休闲区
,平行四边形的一边在海岸线
上,一边在半径
上,另外一个顶点
在圆弧
上,且
,求平行四边形休闲区
面积的最大值及此时
的值.
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