Question

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．其中b=

3

2

，且tanA+tanC+tan

π

3

=tanAtanCtan

π

3

．
（1）求角B的大小；
（2）求a+c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知等式变形后，根据1-tanAtanC不为0，求出tanB的值，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由b与sinB的值，利用正弦定理列出关系式，表示出a与c，进而表示出a+c，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出a+c的范围即可．

解答：解：（1）由tanA+tanC+tan

π

3

=tanAtanCtan

π

3

，得到tanA+tanC=-tan

π

3

（1-tanAtanC），
可知1-tanAtanC≠0，否则有tanAtanC=1，tanA+tanC=0，互相矛盾；
∴

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-tan

π

3

，即tan（A+C）=-tanB=-

3

，
∴tanB=

3

，
∵B为三角形内角，∴B=

π

3

；
（2）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

3 2

sin π 3

=1，
∴a=sinA，c=sinC=sin（

2π

3

-A），
∴a+c=sinA+sin（

2π

3

-A）=

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

sin（A+

π

6

），
∵0＜A＜

2π

3

，∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，
则a+c的范围是（

3

2

，

3

]．

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．