Question

【题目】选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）首先将函数的解析式写成分段函数形式，然后分段解出不等式的解集，再求它们的并集即可；（2）分、、，然后利用三角绝对值不等式的性质求解即可．

试题解析：（1）f(x)＝2|x－1|＋|x－2|＝

所以，f(x)在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，

又f(0)＝f()＝4，故f(x)≤4的解集为{x|0≤x≤}． …4分

（2）①若a＞1，f(x)＝(a－1)|x－1|＋|x－1|＋|x－a|≥a－1，

当且仅当x＝1时，取等号，故只需a－1≥1，得a≥2． …6分

②若a＝1，f(x)＝2|x－1|，f(1)＝0＜1，不合题意． …7分

③若0＜a＜1，f(x)＝a|x－1|＋a|x－a|＋(1－a)|x－a|≥a(1－a)，

当且仅当x＝a时，取等号，故只需a(1－a)≥1，这与0＜a＜1矛盾． …9分

综上所述，a的取值范围是[2，＋∞)． …10分

解法2

f(x)≥1f(1)＝|1－a|≥1且a＞0，解得a≥2. …6分

当a≥2时，f(x)＝a|x－1|＋|x－a|＝

所以，f(x)在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，则f(x)≥f(1)． …8分

f(x)≥1f(1)＝a－1≥1，解得a≥2．

综上所述，a的取值范围是[2，＋∞)． …10分