Question

【题目】如图，六面体ABCDHEFG中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD.若DA＝DH＝DB＝4，AE＝CG＝3。

(1)求证：EG⊥DF；

(2)求BE与平面EFGH所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

解：(1)证明：连接AC，由AE CG可知四边形AEGC为平行四边形．

所以EG∥AC，而AC⊥BD，AC⊥BF，所以EG⊥BD，EG⊥BF，

因为BD∩BF＝B，所以EG⊥平面BDHF，又DF平面BDHF，所以EG⊥DF。

(2)设AC∩BD＝O，EG∩HF＝P，由已知可得：平面ADHE∥平面BCGF，所以EH∥FG，同理可得：EF∥HG，所以四边形EFGH为平行四边形，所以P为EG的中点，O为AC的中点，所以OP綊AE，

从而OP⊥平面ABCD，

又OA⊥OB，所以OA，OB，OP两两垂直，由平面几何知识，得BF＝2。

如图，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(0，2，0)，E(2，0，3)，F(0，2，2)，P(0，0，3)，

所以＝(2，－2，3)，＝(2，0，0，)，＝(0，2，－1)．

设平面EFGH的法向量为n＝(x，y，z)，

可得

令y＝1，则z＝2。

所以n＝(0，1，2)．

设BE与平面EFGH所成角为θ，则sin θ＝＝。