Question

【题目】如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分线段PC，且分别交AC，PC于D，E两点，PB=BC，PA=AB=1．

（1）求证：PC⊥平面BDE；
（2）求直线BE与平面PAC所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵DE垂直平分线段PC，

∴PC⊥DE，

∵PB=BC，E是PC的中点，

∴PC⊥BE，

又DE平面BDE，BE平面BDE，DE∩BE=E，

∴PC⊥平面BDE

（2）解：∵PC⊥平面BDE，BD平面BDE，

∴PC⊥BD，

∵PA⊥平面ABC，BD平面ABC，

∴PA⊥BD，

又PC平面PAC，PA平面PAC，PC∩PA=P，

∴BD⊥平面PAC，

∴∠BED为直线BE与平面PAC所成的角，

∵PA=AB=1，AB⊥BC，∴PB=BC= ，AC= ，

∴PC=2，∴CE= PC=1，∴BE= =1，

∵sin∠ACB= ，即 ，∴BD= ．

∴DE= ．

∴cos∠BED= = ．

∴直线BE与平面PAC所成角的余弦值为

【解析】（1）由DE⊥PC，PC⊥BE得出PC⊥平面BDE；（2）由PC⊥BD，PA⊥BD得出BD⊥平面PAC，故∠BED为BE与平面PAC所成的角，利用勾股定理计算BE，DE得出cos∠BED．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则即可以解答此题．