Question

【题目】已知函数f（x）=（x﹣1）ex﹣ ax2（a∈R）．
（1）当a≤1时，求f（x）的单调区间；
（2）当x∈（0，+∞）时，y=f′（x）的图象恒在y=ax3+x﹣（a﹣1）x的图象上方，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： f'（x）=xex﹣ax=x（ex﹣a）

当a≤0时，ex﹣a＞0，∴x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

当0＜a≤1时，令f'（x）=0得x=0或x=lna．

（i） 当0＜a＜1时，lna＜0，故：x∈（﹣∞，lna）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（lna，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

（ii） 当a=1时，lna=0，f'（x）=xex﹣ax=x（ex﹣1）≥0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，无减区间；

综上，当a≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞），单调减区间是（﹣∞，0）；

当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间是（﹣∞，lna）和（0，+∞），单调减区间是（lna，0）；

当a=1时，f（x）的单调增区间是（﹣∞，+∞），无减区间．

（2）解：由（1）知f'（x）=xex﹣ax

当x∈（0，+∞）时，y=f'（x）的图象恒在y=ax3+x2﹣（a﹣1）x的图象上方；

即xex﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立；

即 ex﹣ax2﹣x﹣1＞0对x∈（0，+∞）恒成立；

记 g（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），

∴g'（x）=ex﹣2ax﹣1=h（x）；∴h'（x）=ex﹣2a；

（i） 当 时，h'（x）=ex﹣2a＞0恒成立，g'（x）在（0，+∞）上单调递增，

∴g'（x）＞g'（0）=0；

∴g（x）在（0，+∞）上单调递增；

∴g（x）＞g（0）=0，符合题意；

（ii） 当 时，令h'（x）=0得x=ln（2a）；

∴x∈（0，ln（2a））时，h'（x）＜0，

∴g'（x）在（0，ln（2a））上单调递减；

∴x∈（0，ln（2a））时，g'（x）＜g'（0）=0；

∴g（x）在（0，ln（2a））上单调递减，

∴x∈（0，ln（2a））时，g（x）＜g（0）=0，不符合题意；

综上可得a的取值范围是

【解析】（1）首先求出f（x）的导函数，分类讨论a的大小来判断函数的单调性；（2）利用转化思想：当x∈（0，+∞）时，y=f'（x）的图象恒在y=ax3+x2﹣（a﹣1）x的图象上方，即xex﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立；即 ex﹣ax2﹣x﹣1＞0对x∈（0，+∞）恒成立；
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．