Question

9．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4$\sqrt{7}$bsinA=7a．
（1）求cosB的值；
（2）若a=3，b=2，求c值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{\frac{\sqrt{7}}{4}}$，利用正弦定理可求sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，利用同角三角函数基本关系式即可求cosB的值．
（2）a=3，b=2，由余弦定理可得2c²-9c+10=0，即可解得c的值．

解答 解：（1）由4$\sqrt{7}$bsinA=7a，可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{\frac{\sqrt{7}}{4}}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，可得$\frac{b}{\frac{\sqrt{7}}{4}}=\frac{b}{sinB}$，
所以sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．…（4分）
因为△ABC为锐角三角形，
所以cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{3}{4}$．…（6分）
（2）由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{9+{c}^{2}-4}{6c}$=$\frac{3}{4}$，
所以2c²-9c+10=0，…（8分）
解得：c=2或c=$\frac{5}{2}$，…（10分）
经检验，c=2不合题意，舍去，
所以c=$\frac{5}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．