Question

1．设函数f′（x）是函数f（x）（x≠0）的导函数f′（x）＜$\frac{2f（x）}{x}$，函数y=f（x）（x≠0）的零点为1和-2，则不等式xf（x）＜0的解集为（　　）

• A． （-∞，-2）∪（0，1）
• B． （-∞，-2）∪（1，+∞）
• C． （-2，0）∪（0，1）
• D． （-2，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，求出g（x）在定义域的单调性，将不等式x f（x）＜0转化为x³g（x）＜0，再分别利用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集．

解答 解：由f′（x）＜$\frac{2f（x）}{x}$，得：$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{xf′（x）-2f（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{xf′（x）-2f（x）＞0}\end{array}\right.$，
令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，则xf（x）=x³g（x）＜0，
则g′（x）=$\frac{f′（x{）x}^{2}-2xf（x）}{{x}^{4}}$=$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
故g（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递减，
而g（-2）=0，g（1）=0，
则x∈（-∞，2）时：g（x）＞0，x∈（-2，0）时：g（x）＜0，
x∈（0，1）时：g（x）＞0，x∈（1，+∞）时：g（x）＜0，
由xf（x）＜0得：x³g（x）＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{g（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{g（x）＞0}\end{array}\right.$，
∴xf（x）＜0的解集是（-∞，-2）∪（1，+∞），
故选：B

点评 本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属于中档题．结合函数的草图，会对此题有更深刻的理解．