Question

11．已知实数a，b满足：a+2^a-1=$\frac{5}{2}$，b+log₂（b-1）=$\frac{5}{2}$，则a+b=$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 观察变量得出与函数y=2^x-1，y=log₂（x-1），y=$\frac{5}{2}$-x，图象有关系，利用对称性求解即可．

解答 解：∵实数a，b满足：a+2^a-1=$\frac{5}{2}$，b+log₂（b-1）=$\frac{5}{2}$，
∴实数a，b满足：2^a-1=$\frac{5}{2}$-a，log₂（b-1）=$\frac{5}{2}$-b，
∴构造函数y=2^x-1，y=log₂（x-1），y=$\frac{5}{2}$-x，
∴可以判断：函数y=2^x-1，y=log₂（x-1），图象关于y=x-1对称，
函数y=2^x-1，y=log₂（x-1），分别与y=$\frac{5}{2}$-x，交点（a，y₁），（b，y₂），
∵y=$\frac{5}{2}$-x，y=x-1，交点为（$\frac{7}{4}$，$\frac{3}{4}$）
∴a+b=2×$\frac{7}{4}$=$\frac{7}{2}$
故答案为：$\frac{7}{2}$

点评 本题考查了运用函数思想解决问题的能力，构造函数，利用对称性求解，综合性较强．