Question

3．已知函数f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$是奇函数（a∈R）．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）试判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t²-（m-2）t）+f（t²-m+2）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）为R上的奇函数，可得f（0）=0，解得a=1，再由奇函数的定义即可判断；
（Ⅱ）f（x）在（-∞，+∞）上单调递增．运用单调性的定义，结合指数函数的单调性，即可得证；
（Ⅲ）对任意的t∈R，不等式f（t²-（m-2）t）+f（t²-m+2）＞0恒成立，即有f（t²-（m-2）t）＞-f（t²-m+2）=f（-t²+m-2），再由函数的单调性，可得t²-（m-2）t＞-t²+m-2恒成立，运用二次函数的性质，判别式小于0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$是奇函数，
即有f（0）=0，即a-1=0，解得a=1，
由f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-f（x），
可得f（x）为奇函数．故a=1；
（Ⅱ）f（x）在（-∞，+∞）上单调递增．
理由：设x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=（1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）-（1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）
=$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
由x₁＜x₂，可得0＜${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，即有f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），则f（x）在R上递增；
（Ⅲ）对任意的t∈R，不等式f（t²-（m-2）t）+f（t²-m+2）＞0恒成立，
即有f（t²-（m-2）t）＞-f（t²-m+2）=f（-t²+m-2），
由f（x）在R上递增，可得t²-（m-2）t＞-t²+m-2恒成立，
可得2t²-（m-2）t-（m-2）＞0，
由△＜0，即（m-2）²+8（m-2）＜0，
解得-6＜m＜2．
则m的取值范围是（-6，2）．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查不等式成立问题的解法，注意运用二次不等式恒成立思想，考查运算能力，属于中档题．