Question

14．如图，O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AO}$的值为（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 7
• D． 6

Answer 1

分析 可延长AO交外接圆于点N，并连接BN，CN，从而可得到$∠ABN=\frac{π}{2}，∠ACN=\frac{π}{2}$，而由M为BC中点即可得出$\overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$，从而有$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AO}=\frac{1}{4}（\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AN}）$，显然$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AN}=|\overrightarrow{AB}{|}^{2}，\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AN}=|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$，从而便可得出$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AO}$的值．

解答 解：如图，延长AO交△ABC的外接圆于点N，连接BN，CN；

∵M为边BC中点；
∴$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，且$∠ABN=∠ACN=\frac{π}{2}$；
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AO}=\frac{1}{4}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）•\overrightarrow{AN}$
=$\frac{1}{4}（\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AN}）$
=$\frac{1}{4}（|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AN}|cos∠BAN+|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AN}|cos∠CAN）$
=$\frac{1}{4}（|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}）$
=5．
故选B．

点评 考查三角形外接圆的定义，圆的直径对的圆周角为直角，向量加法的平行四边形法则，以及余弦函数的定义，向量数量积的计算公式．