Question

4．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\frac{3}{2}$，-sinx），$\overrightarrow{n}$=（1，sinx+$\sqrt{3}$cosx），x∈R，函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（I）求f（x）的最小正周期及值域；
（2）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若f（A）=0，a=$\sqrt{3}$，bc=2，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由向量和三角函数化简可得f（x）=1+cos（2x+$\frac{π}{3}$），可得值域和周期；
（2）由（1）的结果和三角形的值易得A=$\frac{π}{3}$，由余弦定理整体可得b+c的值，可得三角形周长．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（$\frac{3}{2}$，-sinx），$\overrightarrow{n}$=（1，sinx+$\sqrt{3}$cosx），x∈R，
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\frac{3}{2}$-sinx（sinx+$\sqrt{3}$cosx）=$\frac{3}{2}$-sin²x-$\sqrt{3}$sinxcosx
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$（1-cos2x）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=1+$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
=1+cos（2x+$\frac{π}{3}$），故函数的值域为[0，2]，
周期为T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）∵在△ABC中f（A）=1+cos（2A+$\frac{π}{3}$）=0，
∴cos（2A+$\frac{π}{3}$）=-1，即2A+$\frac{π}{3}$=π，解得A=$\frac{π}{3}$，
又a=$\sqrt{3}$，bc=2，∴3=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc
=（b+c）²-3bc=（b+c）²-6，解得b+c=3，
∴△ABC的周长为a+b+c=3+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及向量的数量积和余弦定理解三角形，属中档题．