Question

12．已知点M为圆C₁：（x+2）²+（y-2$\sqrt{5}$）²=1上的任意一点，点N为动圆C₂：x²+y²-4ax-2（a+1）y+5a²+2a=0（a∈R）的圆心，则线段MN的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出圆的标准方程，求出圆心坐标和半径，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：圆C₁：（x+2）²+（y-2$\sqrt{5}$）²=1的圆心坐标为（-2，2$\sqrt{5}$），半径R=1，
动圆C₂：x²+y²-4ax-2（a+1）y+5a²+2a=0的标准方程为（x-2a）²+（y-a-1）²=1
则圆心坐标为C₂：（2a，a+1），半径r=1，C₂：（2a，a+1）在直线l：y=$\frac{1}{2}$x+1，
则C₁C₂⊥l时，线段|C₁C₂|最小，此时MN最小，
此时|C₁C₂|=$\frac{|\frac{1}{2}×（-2）-2\sqrt{5}+1|}{\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+1}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{\frac{5}{4}}}=\frac{2\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=4，
此时MN的最小值为|C₁C₂|-R=4-1=3，
故选：C．

点评 本题主要考查与圆的位置关系的应用，利用数形结合转化为点到直线的距离是解决本题的关键．