Question

17．设直角坐标平面内与两个定点A（-2，0），B（2，0）的距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是E，C是轨迹E上一点，直线BC垂直于x轴，则$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{BC}$=（　　）

• A． -9
• B． -3
• C． 3
• D． 9

Answer 1

分析 由条件便可得出轨迹E为双曲线，并可求得方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$，并可求出点C的坐标为（2，3），或（2，-3），从而可分别求出向量$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{BC}$的坐标，这样即可得出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$的值．

解答 解：根据题意知，轨迹E是以A，B为焦点的双曲线，方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$，x=2带入方程得：y=±3；
∴C点的坐标为（2，3），或（2，-3）；
（1）若C点坐标为（2，3），则：$\overrightarrow{AC}=（4，3），\overrightarrow{BC}=（0，3）$；
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=9$；
（2）若C点坐标为（2，-3），则：$\overrightarrow{AC}=（4，-3），\overrightarrow{BC}=（0，-3）$；
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=9$；
综上得，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=9$．
故选：D．

点评 考查双曲线的定义，以及双曲线的标准方程，根据点的坐标求向量的坐标，向量数量积的坐标运算．