Question

5．已知角α为第四象限角，且其终边与单位圆交点的横坐标为$\frac{1}{3}$．
（1）求tanα的值；
（2）求$\frac{si{n}^{2}α-\sqrt{2}sinαcosα}{1+co{s}^{2}α}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据同角的三角函数的定义进行化简求解即可．
（2）根据弦化切进行转化求解即可．

解答 解：（1）∵角α为第四象限角，且其终边与单位圆交点的横坐标为$\frac{1}{3}$．
∴cosα=$\frac{1}{3}$，则sinα=-$\sqrt{1-cos^2α}$=-$\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=-$\sqrt{\frac{8}{9}}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
即tanα=$\frac{sinα}{cosα}=\frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}$=-2$\sqrt{2}$；
（2）$\frac{si{n}^{2}α-\sqrt{2}sinαcosα}{1+co{s}^{2}α}$=$\frac{sin^2α-\sqrt{2}sinαcosα}{sin^2α+2cos^2α}$=$\frac{ta{n}^{2}α-\sqrt{2}tanα}{2+ta{n}^{2}α}$=$\frac{（-2\sqrt{2}）^{2}-\sqrt{2}（-2\sqrt{2}）}{2+（-2\sqrt{2}）^{2}}$=$\frac{8+4}{2+8}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}$．

点评 本题主要考查三角函数值的化简和求解，利用同角的三角函数的关系以及弦切互化是解决本题的关键．