Question

8．设方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=\sqrt{3}+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）表示的曲线为C．
（1）求曲线C上的动点到原点O的距离的最小值；
（2）点P为曲线C上的动点，当|OP|最小时（O为坐标原点），求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据两点间的距离公式得出距离关于θ的函数，利用三角函数的性质得出距离的最小值；
（2）将（1）中的θ值代入参数方程解出P点坐标．

解答 解：（1）设曲线C上的点到原点得距离为d，
则d²=x²+y²=（1+cosθ）²+（$\sqrt{3}$+sinθ）²=5+2cosθ+2$\sqrt{3}$sinθ=5+4sin（θ+$\frac{π}{6}$）．
∴当sin（θ+$\frac{π}{6}$）=-1时，d²取得最小值1，
∴d的最小值为1．
（2）由（1）知当θ+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ即θ=-$\frac{2π}{3}$+2kπ时，|OP|最小．
∴x=1+cos（-$\frac{2π}{3}$+2kπ）=$\frac{1}{2}$，y=$\sqrt{3}$+sin（-$\frac{2π}{3}$+2kπ）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴P点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题考查了参数方程的应用，距离公式，三角函数的性质，属于中档题．