Question

2．设不等式4^x-m（4^x+2^x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{3}$]
• B． [$\frac{1}{3}，\frac{3}{7}$]
• C． [$\frac{3}{7}，\frac{4}{7}$]
• D． [$\frac{4}{7}$，+∞）

Answer 1

分析 把已知不等式变形，分离参数m，然后结合指数式的值域，利用配方法求得$\frac{1}{1+\frac{1}{{2}^{x}}+\frac{1}{{4}^{x}}}$的范围得答案．

解答 解：由4^x-m（4^x+2^x+1）≥0，得m（4^x+2^x+1）≤4^x，
即m≤$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+{2}^{x}+1}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{{2}^{x}}+\frac{1}{{4}^{x}}}$，
∵x∈[0，1]，∴$\frac{1}{{2}^{x}}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，
则$（\frac{1}{{2}^{x}}）^{2}+\frac{1}{{2}^{x}}+1=（\frac{1}{{2}^{x}}+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}$∈[$\frac{7}{4}，3$]，
∴$\frac{1}{1+\frac{1}{{2}^{x}}+\frac{1}{{4}^{x}}}$∈[$\frac{1}{3}，\frac{4}{7}$]，
则m$≤\frac{1}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查恒成立问题，考查了分离变量法，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．