Question

19．已知二次函数f（x）=ax²-4x-5a，
（1）当a=-3时，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若函数f（x）图象的对称轴在区间（-$\sqrt{6}$，-2）内，求f（$\frac{2}{a}$）的最小值．

Answer 1

分析 （1）将a的值代入，解不等式即可；（2）求出a的范围，根据级别不等式的性质求出f（$\frac{2}{a}$）的最小值即可．

解答 解：（1）a=-3时：f（x）=-3x²-4x+15＜0，
解得：x＞$\frac{5}{3}$或x＜-3，
故不等式的解集是{x|x＞$\frac{5}{3}$或x＜-3}；
（2）f（x）的对称轴x=$\frac{2}{a}$，
∴-$\sqrt{6}$＜$\frac{2}{a}$＜-2，解得：-1＜a＜0或a＜-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
即0＜-a＜1或-a＞$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
而f（$\frac{2}{a}$）=-$\frac{4}{a}$-5a≥2$\sqrt{20}$=4$\sqrt{5}$，
当且仅当-$\frac{4}{a}$=-5a即a=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$时“=”成立．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查解不等式以及级别不等式的性质，是一道中档题．