Question

3．设函数f（x）=e^ax+λlnx，其中a＜0，e是自然对数的底数
（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的单调函数，求λ的取值范围；
（Ⅱ）若0＜λ＜$\frac{1}{e}$，证明：函数f（x）有两个极值点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论λ的范围，求出函数的单调区间，集合题意确定λ的范围即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而判断函数的极值点的个数．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=ae^ax+$\frac{λ}{x}$=$\frac{a{xe}^{ax}+λ}{x}$，（x＞0），
①若λ≤0，则f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）递减，
②若λ＞0，令g（x）=axe^ax+λ，其中a＜0，x＞0，
则g′（x）=ae^ax（1+ax），
令g′（x）=0，解得：x=-$\frac{1}{a}$，
故x∈（0，-$\frac{1}{a}$）时，g′（x）＜0，g（x）递减，
x∈（-$\frac{1}{a}$，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增，
故x=-$\frac{1}{a}$时，g（x）取极小值也是最小值g（-$\frac{1}{a}$）=λ-$\frac{1}{e}$，
故λ-$\frac{1}{e}$≥0即λ≥$\frac{1}{e}$时，g（x）≥0，
此时f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增，
综上，所求λ的范围是（-∞，0]∪[$\frac{1}{e}$，+∞）；
（Ⅱ）f′（x）=ae^ax+$\frac{λ}{x}$=$\frac{a{xe}^{ax}+λ}{x}$，（x＞0），
令g（x）=axe^ax+λ，其中a＜0，x＞0，
求导得：g′（x）=ae^ax（1+ax），
令g′（x）=0，解得：x=-$\frac{1}{a}$，
x∈（0，-$\frac{1}{a}$）时，g′（x）＜0，g（x）递减，
x∈（-$\frac{1}{a}$，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增，
x=-$\frac{1}{a}$时，g（x）取得极小值，也是最小值g（-$\frac{1}{a}$）=λ-$\frac{1}{e}$，
∵0＜λ＜$\frac{1}{e}$，∴g（-$\frac{1}{a}$）=λ-$\frac{1}{e}$＜0，又g（0）=λ＞0，
∴g（-$\frac{1}{a}$）g（0）＜0，
而x→+∞时，f′（x）→λ＞0，
∴函数f（x）有两个极值点．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道综合题．