Question

8．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F，H分别是BC，AD，AE的中点，则$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{AF}$的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}{a^2}$
• B． $\frac{1}{4}{a^2}$
• C． $\frac{1}{8}{a^2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{8}{a^2}$

Answer 1

分析 由已知得|$\overrightarrow{AE}$|=|$\overrightarrow{DE}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，|$\overrightarrow{AD}$|=a，$|\overrightarrow{AH}|$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，$|\overrightarrow{AF}|=\frac{1}{2}a$，cos＜$\overrightarrow{AH}，\overrightarrow{AF}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由此能求出$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{AF}$的值．

解答 解：∵正四面体ABCD的棱长为a，点E，F，H分别是BC，AD，AE的中点，
∴|$\overrightarrow{AE}$|=|$\overrightarrow{DE}$|=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{1}{4}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，|$\overrightarrow{AD}$|=a，$|\overrightarrow{AH}|$=a$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$|\overrightarrow{AF}|=\frac{1}{2}a$，
∴cos＜$\overrightarrow{AH}，\overrightarrow{AF}$＞=$\frac{{|\overrightarrow{AE}|}^{2}{+|\overrightarrow{AD}|}^{2}-|{\overrightarrow{DE}|}^{2}}{2•|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{\frac{3}{4}{a}^{2}+{a}^{2}-\frac{3}{4}{a}^{2}}{2•\frac{\sqrt{3}}{2}a•a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{AF}$=|$\overrightarrow{AH}$|•|$\overrightarrow{AF}$|•cos＜$\overrightarrow{AH}，\overrightarrow{AF}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{4}a×\frac{1}{2}a×\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{8}{a}^{2}$．
故选：C．

点评 本题考查向量的数量积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理和向量数量积公式的合理运用．