Question

如图，四棱锥P—ABCD中，PD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=2，PD=，M为棱PB的中点．

(1)证明：DM平面PBC；

(2)求二面角A—DM—C的余弦值．

 

Answer 1

(1) (2)

【解析】

试题分析：(1) 连接，取的中点，连接，

要证平面，只要证，即可，由题设可得是等腰的底边上的中线，所以；另一方面由又可得出

考虑到平面 平面，；问题得证.

(2)根据空间图形中已知的垂直关系，可以为坐标原点，射线为正半轴，建立如图所示的直角坐标系，写出点 ,分别求出平面 的一个法向量 和平面 的一个法向量，利用向的夹公式求二面角A—DM—C的余弦值

试题解析：

证明：连接，取的中点，连接，

由此知，即为直角三角形，故

又平面，故

所以，平面， 2分

又，为的中点

4分

5分

平面 6分

 

以为坐标原点，射线为正半轴，建立如图所示的直角坐标系， 7分

则从而

设是平面的一个法向量，则

可取 8分

同理，设是平面的一具法向量,则

可取 9分

2分

显然二面角的大小为钝角，所以二面角的余弦值为. 12分

考点：1、直线与直线、直线与平面垂直的判定与性质；2、空间直角坐标系；3、空间向量的夹角公式；

4、二面角的概念与法向量的求法.