Question

17．已知函数f（x）=kx+log₂（4^x+1）（k∈R）是偶函数．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=log₂（a•2^x-4a），其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数f（x）是R上的偶函数，利用f（-1）=f（1），求出k的值；
（Ⅱ）a＞0时，函数g（x）的定义域是（2，+∞），转化为方程f（x）=g（x）在（2，+∞）上有且只有一解，构造函数，讨论a的取值，求出满足条件a的取值范围即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=kx+log₂（4^x+1）是R上的偶函数，
∴f（-1）=f（1），
即-k+log₂（4^-1+1）=k+log₂（4+1），
∴-2k=log₂5-log₂$\frac{5}{4}$=2，
解得k=-1；
（Ⅱ）当a＞0时，函数g（x）=log₂（a•2^x-4a）的定义域是（2，+∞），
由题意知，-x+log₂（4^x+1）=log₂（a•2^x-4a）在（2，+∞）上有且只有一解，
即方程$\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$=a•2^x-4a在（2，+∞）内只有一解；
令2^x=t，则t＞4，因而等价于关于t的方程
（a-1）t²-4at-1=0在（4，+∞）上只有一解；
设h（t）=（a-1）t²-4at-1，
当a=1时，解得t=-$\frac{1}{4}$∉（4，+∞），不合题意；
当0＜a＜1时，h（t）的对称轴t=$\frac{2a}{a-1}$＜0，
故h（t）在（0，+∞）上单调递减，而h（0）=-1，
∴方程（a-1）t²-4at-1=0在（4，+∞）上无解；
当a＞1时，h（t）的对称轴t=$\frac{2a}{a-1}$＞0，
故只需h（4）＜0，
即16（a-1）-16a-1＜0，
此不等式恒成立；
综上，a的取值范围是（1，+∞）．

点评 本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了分类讨论思想以及转化思想的应用问题，是综合性题目．