Question

设函数f（x）=

ax2+1

bx+c

是奇函数（a，b，c都是整数）且f（1）=2，f（2）＜3
（1）求a，b，c的值；
（2）当x＜0，f（x）的单调性如何？用单调性定义证明你的结论．
（3）当x＞0时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用由f（x）是奇函数，得f（-x）=f（x）对定义域内x恒成立求c，利用f（1）=2，f（2）＜3求出b的范围，根据a，b，c都是整数求出a、b．
（2）先设x₁＜x₂≤-1，再作差比较f（x₁），f（x₂）的大小，证明函数在（-∞，-1]上单调递增，在[-1，0）上单调递减．
（3）利用基本不等式求函数的最小值．

解答：解：（1）由f（x）是奇函数，得f（-x）=f（x）对定义域内x恒成立，
则

a(-x)2+1

b(-x)+c

=-

ax2+1

bx+c

⇒-bx+c=-（bx+c）对定义域内x恒成立，即c=0，
又由f（1）=

a+1

b

=2得a=2b-1
∵f（2）=

4a+1

2b

＜3，∴

2b-3

2b

＜0⇒0＜b＜

3

2

，又a、b、c是整数，得b=1，a=1．
（2）由（1）知，f（x）=x+

1

x

，当x＜0，f（x）在（-∞，-1]上单调递增，在[-1，0）上单调递减．
下用定义证明之．
设x₁＜x₂≤-1，则f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

x1

-（x₂+

1

x2

）=（x₁-x₂）+

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

），
∵x₁＜x₂≤-1，x₁-x₂＜0，1-

1

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），故f（x）在（-∞，-1]上单调递增；
同理，可证f（x）在[-1，0）上单调递减．
（3）f（x）=x+

1

x

，x＞0时f（x）=x+

1

x

≥2，当且仅当x=1时取“=”．
故当x＞0时，求函数f（x）的最小值为2．

点评：本题考查了函数的单调性的判断与证明，考查了用基本不等式求最值，要求熟练掌握用定义法证明函数的单调性．