Question

直线y=x+b（b≠0）与抛物线C：y=

1

2

x²交于A、B两点．
（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（2）O为抛物线的顶点，求b的值使得以线段AB为直径的圆过原点．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先将抛物线C的方程化为标准方程，进而可得抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与抛物线方程，可得x₁+x₂=2，x₁x₂=-2b，y₁y₂=b²，若以线段AB为直径的圆过原点，则

OA

⊥

OB

，则x₁x₂+y₁y₂=0，解得满足条件的b值．

解答： 解：（1）抛物线C的标准方程为：x²=2y，
则抛物线C的焦点坐标为（0，

1

2

），
准线方程为y=-

1

2

；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2=2y y=x+b

得：x²-2x-2b=0，
则x₁+x₂=2，x₁x₂=-2b，则y₁y₂=x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=b²，
若以线段AB为直径的圆过原点，则

OA

⊥

OB

，
∴x₁x₂+y₁y₂=b²-2b=0，
解得：b=2，或b=0

点评：本题考查的知识点是抛物线的简单性质，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．