Question

已知P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂)是抛物线y²=2px(p＞0)上不同的两点,则y₁·y₂=－p²是直线PQ通过抛物线焦点的

A.充分不必要条件                                                        B.充要条件

C.必要不充分条件                                                        D.既不充分又不必要条件

Answer 1

解析:当x₁=x₂时,显然为充要条件.

当x₁≠x₂时,设直线PQ的斜率为k,

若过焦点,则直线AB的方程为y=k(x－),代入抛物线方程并化简得y²－y－p²=0.

∴y₁·y₂=－p².

若y₁·y₂=－p²,由于P、Q为抛物线上的点,

故y₁²=2px₁,y₂²=2px₂.

∴=.

从而直线AB的方程为y－y₁= (x－x₁).

令y=0,得－y₁²+p²=2px－2px₁.

又y₁²=2px₁,∴x=,

即直线AB过(,0)点.

综上分析知为充要条件.

答案:B