Question

已知数列的前n项和为，，且()，数列满足，，对任意，都有．
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）令，若对任意的，不等式恒成立，试求实数λ的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵，∴ ()，两式相减得，，
∴，即，∴()，
满足上式，故数列的通项公式()．··········· 4分
在数列中，由，知数列是等比数列，首项、公比均为，
∴数列的通项公式．（若列出、、直接得而没有证明扣1分）···· 6分
（Ⅱ）∴    ①
∴         ②
由①-②，得，
∴，·························· 8分
不等式即为，
即（）恒成立．··············· 9分
方法一、设（），
当时，恒成立，则满足条件；
当时，由二次函数性质知不恒成立；
当时， 由于，则在上单调递减，恒成立，则满足条件．
综上所述，实数λ的取值范围是．··············· 12分
方法二、也即（）恒成立，·············· 9分
令．则，·· 10分
由，单调递增且大于0，∴单调递增，当时，，且，故，∴实数λ的取值范围是．

略