【题目】有下列说法:
①函数y=cos(-2x)的最小正周期是π;
②终边在y轴上的角的集合是{α|α=,k∈Z};
③在同一直角坐标系中,函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点;
④函数y=sin(x-)在[0,π]上是增函数.其中,正确的说法是________.(填序号)
【答案】①④
【解析】
对于①中,根据余弦型函数的性质,可判定是正确的;对于②中,由终边相同角的表示,可判定是不正确的;对于③中,可得到函数与
只有一个公共点,所以不正确;
对于④中,化简函数,根据余弦函数的性质,可判定是正确的.
对于①中,根据余弦型函数的性质,可得函数的最小正周期为
,所以是正确的;
对于②中,由终边相同角的表示,可得终边在轴上的角的可表示
,所以是不正确的;
对于③中,设函数,则
,函数
单调递增,又由
,所以函数
与
只有一个公共点,所以不正确;
对于④中,函数,根据余弦函数的性质,可得函数
在区间
单调递减,所以函数
在区间
单调递增,所以是正确的.
综上可知,①④是正确的.
故答案为:①④.
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【题目】已知两个定点,
, 动点
满足
,设动点
的轨迹为曲线
,直线
:
.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)若是直线
上的动点,过
作曲线
的两条切线QM、QN,切点为
、
,探究:直线
是否过定点,若存在定点请写出坐标,若不存在则说明理由.
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【题目】如图放置的边长为2的正三角形ABC沿x轴滚动,记滚动过程中顶点A的横、纵坐标分别为和
,且
是
在映射
作用下的象,则下列说法中:
① 映射的值域是
;
② 映射不是一个函数;
③ 映射是函数,且是偶函数;
④ 映射是函数,且单增区间为
,
其中正确说法的序号是___________.
说明:“正三角形ABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转,当顶点C落在x轴上时,再以顶点C为中心顺时针旋转,如此继续.类似地,正三角形ABC可以沿x轴负方向滚动.
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【题目】近年来,我国自主研发的长征系列火箭的频频发射成功,标志着我国在该领域已逐步达到世界一流水平.火箭推进剂的质量为,去除推进剂后的火箭有效载荷质量为
,火箭的飞行速度为
,初始速度为
,已知其关系式为齐奥尔科夫斯基公式:
,其中
是火箭发动机喷流相对火箭的速度,假设
,
,
,
是以
为底的自然对数,
,
.
(1)如果希望火箭飞行速度分别达到第一宇宙速度
、第二宇宙速度
、第三宇宙速度
时,求
的值(精确到小数点后面1位).
(2)如果希望达到
,但火箭起飞质量最大值为
,请问
的最小值为多少(精确到小数点后面1位)?由此指出其实际意义.
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【题目】已知函数.
(Ⅰ)求函数f(x)的定义域,判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)是否存在这样的实数k,使f(k-x2)+f(2k-x4)≥0对一切恒成立,若存在,试求出k的取值集合;若不存在,请说明理由.
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【题目】哈师大附中高三学年统计甲、乙两个班级一模数学分数(满分150分),每个班级20名同学,现有甲、乙两班本次考试数学分数如下列茎叶图所示:
(I)根据基叶图求甲、乙两班同学数学分数的中位数,并将乙班同学的分数的频率分布直方图填充完整;
(Ⅱ)根据基叶图比较在一模考试中,甲、乙两班同学数学分数的平均水平和分数的分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可)
(Ⅲ)若规定分数在的成绩为良好,分数在
的成绩为优秀,现从甲、乙两班成绩为优秀的同学中,按照各班成绩为优秀的同学人数占两班总的优秀人数的比例分层抽样,共选出12位同学参加数学提优培训,求这12位同学中恰含甲、乙两班所有140分以上的同学的概率.
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【题目】新个税法于2019年1月1日进行实施.为了调查国企员工对新个税法的满意程度,研究人员在地各个国企中随机抽取了1000名员工进行调查,并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图,其中
.
(1)求的值并估计被调查的员工的满意程度的中位数;(计算结果保留两位小数)
(2)若按照分层抽样从,
中随机抽取8人,再从这8人中随机抽取2人,求至少有1人的分数在
的概率.
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【题目】已知函数(
,且
).
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)求函数在
上的最大值.
【答案】(Ⅰ)的单调增区间为
,单调减区间为
.(Ⅱ)当
时,
;当
时,
.
【解析】【试题分析】(I)利用的二阶导数来研究求得函数
的单调区间.(II) 由(Ⅰ)得
在
上单调递减,在
上单调递增,由此可知
.利用导数和对
分类讨论求得函数在
不同取值时的最大值.
【试题解析】
(Ⅰ),
设
,则
.
∵,
,∴
在
上单调递增,
从而得在
上单调递增,又∵
,
∴当时,
,当
时,
,
因此, 的单调增区间为
,单调减区间为
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得在
上单调递减,在
上单调递增,
由此可知.
∵,
,
∴.
设,
则
.
∵当时,
,∴
在
上单调递增.
又∵,∴当
时,
;当
时,
.
①当时,
,即
,这时,
;
②当时,
,即
,这时,
.
综上, 在
上的最大值为:当
时,
;
当时,
.
[点睛]本小题主要考查函数的单调性,考查利用导数求最大值. 与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图像,讨论其图象与轴的位置关系,进而确定参数的取值范围;或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题.
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,圆
的普通方程为
. 在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ) 写出圆 的参数方程和直线
的直角坐标方程;
( Ⅱ ) 设直线 与
轴和
轴的交点分别为
,
为圆
上的任意一点,求
的取值范围.
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【题目】记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆,以椭圆
的焦点为顶点作相似椭圆
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆
交于
两点,且与椭圆
仅有一个公共点,试判断
的面积是否为定值(
为坐标原点)?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
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