【题目】已知函数.
(Ⅰ)求函数f(x)的定义域,判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)是否存在这样的实数k,使f(k-x2)+f(2k-x4)≥0对一切恒成立,若存在,试求出k的取值集合;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ)不存在满足题意的实数k.
【解析】
(Ⅰ)真数大于0解不等式可得定义域;奇偶性定义判断奇偶性;
(Ⅱ)假设存在实数k后,利用奇偶性和单调性去掉函数符号后变成具体不等数组,然后转化为最值即可得.
(Ⅰ)由>0 得-2<x<2,
所以f(x)的定义域为(-2,2);
∵f(-x)=lg=-lg=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(Ⅱ)假设存在满足题意的实数k,则
令t===-1,x∈(-2,2),
则t在(-2,2)上单调递减,又y=lgt在(0,+∞)上单调递增,
于是函数f(x)在(-2,2)上单调递减,
∴已知不等式f(k-x2)+f(2k-x4)≥0f(k-x2)≥-f(2k-x4)
f(k-x2)≥f(x4-2k)-2<k-x2≤x4-2k<2,
由题意知-2<k-x2≤x4-2k<2对一切x∈[-,]恒成立,
得不等式组对一切x∈[-,]恒成立,
∴,即k∈.
故不存在满足题意的实数k.
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【题目】(10分)若集合A={x|x2+5x﹣6=0},B={x|x2+2(m+1)x+m2﹣3=0}.
(1)若m=0,写出A∪B的子集;
(2)若A∩B=B,求实数m的取值范围.
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【题目】已知△ABC的边AB所在直线方程为y=3x,BC所在直线方程为y=ax+12,AC边上的高BD所在直线方程为y=﹣x+8.
(1)求实数a的值;
(2)若AC边上的高BD,求边AC所在的直线方程.
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【题目】我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题,大概意思如下:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为2尺8寸,盆底直径为l尺2寸,盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸,则平均降雨量是(注:①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②1尺等于10寸)( )
A. 3寸B. 4寸C. 5寸D. 6寸
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【题目】某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,下表是某公司前5天监测到的数据:
第天 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
被感染的计算机数量(台) | 10 | 20 | 39 | 81 | 160 |
则下列函数模型中,能较好地反映计算机在第天被感染的数量与之间的关系的是
A. B.
C. D.
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【题目】有下列说法:
①函数y=cos(-2x)的最小正周期是π;
②终边在y轴上的角的集合是{α|α=,k∈Z};
③在同一直角坐标系中,函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点;
④函数y=sin(x-)在[0,π]上是增函数.其中,正确的说法是________.(填序号)
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【题目】某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率有帮助”的试验,其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练),乙班为对比班(常规教学,无额外训练),在试验前的测试中,甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致,试验结束后,统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示:
60分及以下 | 61~70分 | 71~80分 | 81~90分 | 91~100分 | |
甲班(人数) | 3 | 6 | 12 | 15 | 9 |
乙班(人数) | 4 | 7 | 16 | 12 | 6 |
现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀.
(1)由以上统计数据填写列联表,并判断是否有的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助;
(2)对甲乙两班60分及以下的同学进行定期辅导,一个月后从中抽取3人课堂检测,表示抽取到的甲班学生人数,求及至少抽到甲班1名同学的概率.
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【题目】2018年4月4日召开的国务院常务会议明确将进一步推动网络提速降费工作落实,推动我国数字经济发展和信息消费,今年移动流量资费将再降以上,为响应国家政策,某通讯商计划推出两款优惠流量套餐,详情如下:
套餐名称 | 月套餐费/元 | 月套餐流量/M |
A | 30 | 3000 |
B | 50 | 6000 |
这两款套餐均有以下附加条款:套餐费用月初一次性收取,手机使用流量一旦超出套餐流量,系统就会自动帮用户充值流量,资费20元;如果又超出充值流量,系统再次自动帮用户充值流量,资费20元,以此类推.此外,若当月流量有剩余,系统将自动清零,不可次月使用.
小张过去50个月的手机月使用流量(单位:M)的频数分布表如下:
月使用流量分组 | ||||||
频数 | 4 | 5 | 11 | 16 | 12 | 2 |
根据小张过去50个月的手机月使用流量情况,回答以下几个问题:
(1)若小张选择A套餐,将以上频率作为概率,求小张在某一个月流量费用超过50元的概率;
(2)小张拟从A或B套餐中选定一款,若以月平均费用作为决策依据,他应订哪一种套餐?说明理由.
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