Question

某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现，第x天（1≤x≤20，x∈N）的销售价格（单位：元）为p=

44+x，1≤x≤6 56-x，6＜x≤20

，第x天的销售量为q=

48-x，1≤x≤8 32+x，8＜x≤20

，已知该商品成本为每件25元．
（Ⅰ）写出销售额t关于第x天的函数关系式；
（Ⅱ）求该商品第7天的利润；
（Ⅲ）该商品第几天的利润最大？并求出最大利润．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意写出销售额t关于第x天的函数关系式；
（Ⅱ）根据分段函数，求该商品第7天的利润；
（Ⅲ）利用函数的性质，求出函数的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由题意知t=

(44+x)(48-x)，1≤x≤6 (56-x)(48-x)，6＜x≤8 (56-x)(32+x)，8＜x≤20

-----------------------------------（5分）
（Ⅱ）当x=7时，t=（56-7）×（48-7）-25×（48-7）=984元-----------------------------------（8分）
（Ⅲ）设该商品的利润为H（x），
则

H(x)= (44+x-25)(48-x)，1≤x≤6 (56-x-25)(48-x)，6＜x≤8 (56-x-25)(32+x)，8＜x≤20 = (19+x)(48-x)，1≤x≤6 (31-x)(48-x)，6＜x≤8 (31-x)(32+x)，8＜x≤20

-----------------------------------（11分）
当1≤x≤6时，H_max（x）=H（6）=1050
当6＜x≤8时，H_max（x）=H（7）=984
当8＜x≤20时，H_max（x）=H（9）=902
∴第6天利润最大，最大利润为1050元．-----------------------------------（14分）

点评：本题主要考查函数的应用，根据题意列出分段函数，然后利用分段函数研究函数的性质．