Question

13．在去年某段时间内，一件商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为：

x（元）	14	16	18	20	22
Y（件）	12	10	7	53

且知x与y具有线性相关关系，
（1）求出y对x的线性回归方程，并预测商品价格为24元时需求量的大小．
（2）计算R²（保留三位小数），并说明拟合效果的好坏．
参考公式：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$x，R²=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\widehat{y}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）根据所给的数据，做出变量x，y的平均数，可得y对x的线性回归方程，并预测商品价格为24元时需求量的大小．
（2）求出回归模型的相关系数，可判断回归模型拟合效果的好坏．

解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（14+16+18+20+22）=18，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（12+10+7+5+3）=7.4，
14²+16²+18²+20²+22²=1 660，
=14×12+16×10+18×7+20×5+22×3=620，
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{620-5×18×7.4}{1660-5×1{8}^{2}}$=$\frac{-46}{40}$=-1.15．
∴$\stackrel{∧}{a}$=7.4+1.15×18=28.1，
∴线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=-1.15x+28.1．
当x=24时，需求量为$\stackrel{∧}{y}$=-1.15x+28.1=0.5
（2）x=14时，y=12，差是0，
x=16时，y=9.7，差是0.3，
x=18时，y=7.4，差是0.4，
x=20时，y=5.1，差是0.1，
x=22时，y=2.8，差是0.2，
∴R²=1-（0+0.09+0.16+0.01+0.04）÷（21.16+6.76+0.16+5.76+19.36）=1-0.0056391=0.9943609，
由于0.9943609非常接近1，
故这个回归模型拟合效果比较好．

点评 本题考查线性回归方程，考查最小二乘法，考查预报值的求法，是一个新课标中出现的新知识点，已经在广东的高考卷中出现过类似的题目．