Question

1．函数f（x）=x³+ax²+bx+c，过曲线y=f（x）上的点P（1，f（x））的切线方程为y=3x+1．
（1）若y=f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的表达式；
（2）若函数y=f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由于函数f（x）=x³+ax²+bx+c在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，所以f（1）=4，f′（1）=3，又因为y=f（x）在x=-2时有极值，所以f′（-2）=0，列三个方程解之即可
（2）由于函数f（x）=x³+ax²+bx+c在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，所以 f′（1）=3，所以2a=-b，欲使函数y=f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，只需f′（x）=3x²-bx+b≥0在区间（1，+∞）上恒成立，转化为b≥$\frac{3{x}^{2}}{x-1}$在区间（1，+∞）上恒成立，利用函数性质求此函数的最大值即可

解答 解：（1）∵f′（x）=3x²+2ax+b，
依题意$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3+2a+b=3}\\{f（1）=1+a+b+c=4}\\{f′（-2）=14-4a+b=0}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=-4，c=5，
∴f（x）=x³+2x²-4x+5；
（2）∵函数f（x）=x³+ax²+bx+c在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，
∴f′（1）=3，∴2a=-b
∴f′（x）=3x²-bx+b
依题意欲使函数y=f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，只需f′（x）=3x²-bx+b≥0在区间（1，+∞）上恒成立
即b≥$\frac{3{x}^{2}}{x-1}$在区间（1，+∞）上恒成立
设t=x-1（t＞0），则$\frac{3{x}^{2}}{x-1}$=$\frac{3（t+1）^{2}}{t}$=3（t+$\frac{1}{t}$+2）≥12，当且仅当t=1，x=2时取等号
∴b≥12时，函数y=f（x）在区间（1，+∞）上单调递增

点评 本题考察了导数的几何意义，利用导数求函数极值，利用导数解决已知函数单调性求参数范围问题的方法，考查了转化化归的思想方法．