Question

（本题12分）已知⊙O：和定点A(2,1)，⊙O外一点向⊙O引切线PQ ,切点为Q ，且满足．

　(1) 求实数间满足的等量关系；

　(2) 求线段PQ长的最小值；

　(3) 若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，         

试求：半径取最小值时⊙P的方程．

Answer 1

（本题12分）已知⊙O：和定点A(2,1)，⊙ O外一点向⊙O引切线PQ ,切点为Q ，且满足．

　(1) 求实数间满足的等量关系；

　(2) 求线段PQ长的最小值；

　(3) 若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，         

试求：半径取最小值时⊙P的方程．

解：（1）连为切点，，由勾股定理有

又由已知，故.即：.

化简得实数a、b间满足的等量关系为：.   ……………4分

由，得，

=

故当时，即线段PQ长的最小值为    ………………8分

解法2：由(1)知，点P在直线l：2x + y－3 = 0 上.

∴  | PQ |_min = | PA |_min，即求点A到直线 l的距离.

∴  | PQ |_min =                        

设⊙P 的半径为，⊙P与⊙O有公共点，⊙O的半径为1，

即且.

而，

故当时，此时, ，.

得半径取最小值时圆P的方程为………………12分

 解法2：⊙P与⊙O有公共点，⊙ P半径最小时为与⊙O外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心P为过原点与l垂直的直线l’ 与l

的交点P₀.r = －1 = －1.又  l’：x－2y = 0,

解方程组，得.

 ∴  所求圆方程为.