Question

设函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（2）=4．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）证明：f（x）在R上为单调递增函数；
（3）若有不等式f(x)•f(1+

1

x

)＜2成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用赋值法，令x=2，y=0即可求得f（0）的值，令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）先证明0＜f（x）＜1，再利用函数单调性的定义，设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，利用抽象表达式和已知函数性质证明f（x₁）＜f（x₂），即可得证；
（3）利用抽象表达式，先将不等式化为f(x+1+

1

x

)＜f(1)，再利用函数的单调性将不等式转化为分式不等式即可得解集

解答：解（1）因为f（2+0）=f（2）•f（0），
所以4=4•f（0），
所以f（0）=1，
又因为4=f（2）=f（1+1）=f²（1），且当x＞0时，f（x）＞1，
所以f（1）=2
（2）当x＜0时，-x＞0，
所以f（-x）＞1，而f（0）=f[x+（-x）]=f（x）•f（-x），
所以f(x)=

1

f(-x)

，
所以0＜f（x）＜1，
对任意的x₁，x₂∈R，当x₁＜x₂时，有f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₂）（f（x₁-x₂）-1），
因为x₁＜x₂，
所以x₁-x₂＜0，
所以0＜f（x₁-x₂）＜1，
即f（x₁-x₂）-1＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在R上是单调递增函数
（3）因为f(x)•f(1+

1

x

)＜2，
所以f(x+1+

1

x

)＜f(1)，而f（x）在R上是单调递增函数，
所以x+1+

1

x

＜1，
即：x+

1

x

＜0，
所以

x2+1

x

＜0，
所以x＜0，
所以x的取值范围是x＜0

点评：本题主要考查了抽象函数表达式反映函数性质及抽象函数表达式的应用，函数单调性的定义及其证明，利用函数性质和函数的单调性解不等式的方法，转化化归的思想方法