Question

12．已知点M（1，m）在抛物线C：y²=2px（P＞0）上，且M到抛物线C的焦点F的距离等于2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l与抛物线C相交于A、B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）．求证直线AB恒过x轴上的某定点，并求出该定点坐标．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的定义可知：1+$\frac{p}{2}$=2，即可求得p，代入求得抛物线C的方程；
（2）当当直线l的斜率不存在时，设l：x=t，（t＞0）求得A点坐标，代入即可求得t的值；当直线的斜率存在时，设直线l：y=kx+m，代入抛物线方程由韦达定理可知x₁+x₂=-$\frac{2km-4}{{k}^{2}}$且x₁x₂=$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}}$，由OA⊥OB，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，根据向量数量积的坐标表示，求得k与m的关系，求得直线方程y=k（x-4），直线AB恒过x轴上的定点N（4，0）．

解答 解：（1）∵点M（1，m）在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，点M到抛物线C的焦点F的距离为2，
∴1+$\frac{p}{2}$=2，
∴p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x；
（2）证明：当直线l的斜率不存在时，设l：x=t，（t＞0）与抛物线第一象限交于A点，
∵OA⊥OB，
∴A（t，t），
代入整理得t²=4t，解得：t=4，
∴故直线恒过定点N（4，0）
当直线的斜率存在时，设直线l：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立y²=4x得kx²+（2km-4）x+m²=0，
依题意有k≠0，由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2km-4}{{k}^{2}}$且x₁x₂=$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}}$①，
∵OA⊥OB，
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
将①代入化简得m²+4km=0，故m=-4k，
此时直线l：y=kx-4k=k（x-4），
直线AB恒过x轴上的定点N（4，0）．

点评 本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．