Question

5．已知等差数列{a_n}中，a₁=1，且a₁，a₂，a₄+2成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式及其前n项和S_n；
（2）设${b_n}={2^{{{（{-1}）}^n}{a_n}}}$，求数列{b_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₁=1，且a₁，a₂，a₄+2成等比数列．可得：${a}_{2}^{2}$=a₁•（a₄+2），即（1+d）²=1×（1+3d+2），解得d．经过验证可得d，再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）${b_n}={2^{{{（{-1}）}^n}{a_n}}}$=${2}^{（-1）^{n}（2n-1）}$．∴当n为偶数时，$\frac{{b}_{n+2}}{{b}_{n}}$=$\frac{{2}^{2n+3}}{{2}^{2n-1}}$=16．当n为奇数时，$\frac{{b}_{n+2}}{{b}_{n}}$=$\frac{{2}^{-（2n+3）}}{{2}^{-（2n-1）}}$=$\frac{1}{16}$．可得数列{b_n}的奇数项是以$\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{16}$为公比的等比数列；偶数项是以8为首项，16为公比的等比数列．利用求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=1，且a₁，a₂，a₄+2成等比数列．
∴${a}_{2}^{2}$=a₁•（a₄+2），即（1+d）²=1×（1+3d+2），解得d=2或-1．
其中d=-1时，a₂=0，舍去．
∴d=2，可得a_n=1+2（n-1）=2n-1．
S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
（2）${b_n}={2^{{{（{-1}）}^n}{a_n}}}$=${2}^{（-1）^{n}（2n-1）}$．
∴当n为偶数时，$\frac{{b}_{n+2}}{{b}_{n}}$=$\frac{{2}^{2n+3}}{{2}^{2n-1}}$=16．当n为奇数时，$\frac{{b}_{n+2}}{{b}_{n}}$=$\frac{{2}^{-（2n+3）}}{{2}^{-（2n-1）}}$=$\frac{1}{16}$．
∴数列{b_n}的奇数项是以$\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{16}$为公比的等比数列；偶数项是以8为首项，16为公比的等比数列．
∴数列{b_n}的前2n项和T_2n=（b₁+b₃+…+b_2n-1）+（b₂+b₄+…+b_2n）
=$\frac{\frac{1}{2}×[1-（\frac{1}{16}）^{n}]}{1-\frac{1}{16}}$+$\frac{8×（1{6}^{n}-1）}{16-1}$
=$\frac{8}{15}$（16ⁿ-16^-n）．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．