Question

16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，2acosC+2ccosA=a+c．
（Ⅰ）若$\frac{sinA}{sinB}=\frac{3}{4}$，求$\frac{c}{b}$的值；
（Ⅱ）若$C=\frac{2π}{3}$，且c-a=8，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，可利用正弦定理化简，可得$\frac{c}{b}$的值；
（Ⅱ）利用余弦定理求出b，a的值，即可求解△ABC的面积S．

解答 解：∵2acosC+2ccosA=a+c
由正弦定理：2sinAcosC+2sinCcosA=sinA+sinC
∴sinA+sinC=2sin（A+C）=2sin（π-B）=2sinB
∴a+c=2b…①．
（Ⅰ）∵$\frac{sinA}{sinB}=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$…②．
由①②得：$\frac{c}{b}=\frac{5}{4}$．
（Ⅱ）∵c-a=8，a+c=2b．
∴b=a+4，c=a+8，
∵$C=\frac{2π}{3}$
由余弦定理得：${（a+8）^2}={a^2}+{（a+4）^2}-2a•（a+4）cos\frac{2π}{3}$，
解得：a=6．
∴b=10．
故得△ABC的面积$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×6×10×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=15\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．