Question

11．已知数列{ a_n}的前n项和为S_n，且满足：a₁=1，a₂=2，S_n+1=a_n+2-a_n+1（n∈N*），则S_n=2ⁿ-1．

Answer 1

分析 S_n+1=a_n+2-a_n+1（n∈N*），则S_n+1=S_n+2-S_n+1-（S_n+1-S_n），化为：S_n+2+1=2（S_n+1+1）．由a₁=1，a₂=2，可得：S₂+1=2（S₁+1），可得数列{S_n+1}是等比数列，首项为2，公比为2．即可得出．

解答 解：S_n+1=a_n+2-a_n+1（n∈N*），则S_n+1=S_n+2-S_n+1-（S_n+1-S_n），化为：S_n+2+1=2（S_n+1+1）．
由a₁=1，a₂=2，可得：S₂+1=2（S₁+1），
因此S_n+1+1=2（S_n+1）对?n∈N^*都成立．
∴数列{S_n+1}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴S_n+1=2ⁿ，即S_n=2ⁿ-1，
故答案为：2ⁿ-1．

点评 本题考查了等比数列的定义、通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．