Question

15．对于某个给定的函数f（x），称方程f（x）=x的根为函数f（x）的不动点，若二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）有两个不动点x₁，x₂，且${x_2}-{x_1}＞\frac{1}{a}$，当t＜x₁时，f（t）与x₁的大小关系为（　　）

• A． f（t）＞x₁
• B． f（t）≥x₁
• C． f（t）＜x₁
• D． f（t）≤x₁

Answer 1

分析 方程f（x）-x=0的两个根x₁，x₂，所以构造函数，当t＜x₁时，利用函数的性质推出x＞f （t），然后作差x₁-f（t），化简分析出f（t）＞x₁，即可．

解答 解：令F（x）=f（x）-x．因为x₁，x₂是方程f（x）-x=0的根，所以
F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）．
当t＜x₁时，由于x₁＜x₂，得（t-x₁）（t-x₂）＞0，又a＞0，得
F（t）=a（x-x₁）（x-x₂）＜0，
即x＞f（t）．
x₁-f（t）=x₁-[t+F（t）]
=x₁-t+a（x₁-t）（t-x₂）
=（x₁-t）[1+a（t-x₂）]，
因为x₂-x₁＞$\frac{1}{a}$，所以x₁-t＞0，1+a（t-x₂）＜0．
得x₁-f（t）＜0．
由此得f（t）＞x₁．

点评 本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．