Question

5．已知z是复数，z+2i与$\frac{z}{2-i}$均为实数．
（1）求复数z；
（2）复数（z+ai）²在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设z=x+yi（x，y∈R），然后代入z+2i结合已知求出y的值，再代入$\frac{z}{2-i}$，利用复数代数形式的乘除运算化简结合已知可求出x的值，则复数z可求；
（2）把z=4-2y代入（z+ai）²化简结合已知条件列出不等式组，求解即可得答案．

解答 解：（1）设z=x+yi（x，y∈R），
则z+2i=x+（y+2）i为实数，
∴y=-2．
∵$\frac{z}{2-i}$=$\frac{x-2i}{2-i}=\frac{（x-2i）（2+i）}{（2-i）（2+i）}=\frac{2x+2+（x-4）i}{5}$=$\frac{2x+2}{5}+\frac{x-4}{5}i$为实数，
∴$\frac{x-4}{5}=0$，解得x=4．
则z=4-2y；
（2）∵（z+ai）²=（4-2y+ai）²=（12+4a-a²）+8（a-2）i在第一象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{12+4a-{a}^{2}＞0}\\{8（a-2）＞0}\end{array}\right.$，
解得2＜a＜6．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是中档题．