Question

设函数f（x）=（x²+ax-2a-3）x
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设a＞0，g（x）=（a²+8）x+30，确定f（x）与g（x）在[0，3]上值域；
（3）若存在x₁，x₂∈[0，3]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜3成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=（x²+ax-2a-3）x=x³+ax²-2ax-3x，
∴f′（x）=3x²+2ax-2a-3=（x-1）（3x+2a+3），
令f′（x）=（x-1）（3x+2a+3）=0，得x=1，x=-．
当a=-3时，f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增；
当a＜-3时，由f′（x）=（x-1）（3x+2a+3）＞0，
得x＞-，或x＜1，
由f′（x）=（x-1）（3x+2a+3）＜0，得1＜x＜-，
∴f（x）在[1，-]上单调递减，
在（-∞，1），（-，+∞）上单调递增；
当a＞-3时，由f′（x）=（x-1）（3x+2a+3）＞0，
得x＜-，或x＞1，
由f′（x）=（x-1）（3x+2a+3）＜0，得-＜x＜1，
∴f（x）在[-，1]上单调递减，
在（-∞，-），（1，+∞）上单调递增；
（2）∵a＞0，g（x）=（a²+8）x+30，
∴g′（x）=a²+8＞0，
∴g（x）=（a²+8）x+30在[0，3]上是增函数，
∴g（x）=（a²+8）x+30在[0，3]上值域为G=[30，3（a²+8）+30]，
当a＞0时，f（x）在[0，1]单调递减，在[1，3]单调递增，
于是f（x）在x=1处取得最小值-a-2，
在x=3处取得最大值3a+18，f（x）的值域是F=[-a-2，3a+18]．
（3）由（2）知，若F∩G≠∅，则一定存在x₁，x₂∈[0，3]，
使得|f（x₁）-g（x₂）|＜3成立；
F∩G=∅，则只要|f_max（x）-g_min（x）|＜3或|g_max（x）-f_min（x）|＜3，
由于-a-2＜3a+18＜30≤3（a²+8）+30，
解得a＞3．
分析：（1）由f′（x）=（x-1）（3x+2a+3）=0，得x=1，x=-，由此分类讨论，能求出f（x）的单调区间．
（2）g（x）=（a²+8）x+30在[0，3]上值域为G=[30，3（a²+8）+30]．当a＞0时，f（x）在[0，1]单调递减，在[1，3]单调递增，于是f（x）在x=1处取得最小值-a-2，在x=3处取得最大值3a+18，f（x）的值域是F=[-a-2，3a+18]；
（3）F∩G≠∅，一定存在x₁，x₂∈[0，3]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜3成立；F∩G=∅，则只要|f_max（x）-g_min（x）|＜3或|g_max（x）-f_min（x）|＜3，由-a-2＜3a+18＜30≤3（a²+8）+30，能求出求a的取值范围．
点评：本题考查函数的单调区间，函数的值域和实数的取值范围的求法．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．