Question

【题目】已知数列{an}前n项的和为Sn ， 满足a1=0，an≥0，3an+12=an2+an+1（n∈N*） （Ⅰ）用数学归纳法证明：1 ≤an＜1（n∈N*）
（Ⅱ）求证：an＜an+1（n∈N*）

Answer 1

【答案】证明：（I）当n=1时，显然结论成立；

假设n=k时，结论成立，即1﹣ ≤ak＜1，

则3ak+12=ak2+ak+1＜3，

由ak+1≥0，∴ak+1＜1，

又ak≥1﹣ ，

∴3ak+12=ak2+ak+1≥（1﹣ ）2+（1﹣ ）+1= ﹣ +3，

ak+12≥1﹣ + ＞1﹣ + =（1﹣ ）2，

∴ak+1＞1﹣ ，

∴当n=k+1时，结论成立，

∴1 ≤an＜1（n∈N*）．

（II）3an+12﹣3an2=﹣2an2+an+1=﹣2（an﹣ ）2+ ，

由（1）可知0≤an＜1，

∴﹣2（an﹣ ）2+ ＞0，

∴3an+12﹣3an2＞0，

∴an＜an+1

【解析】（I）验证n=1结论成立，假设n=k结论成立，利用不等式的性质推导n=k+1时结论成立即可；（II）使用作差法和二次函数的性质得出结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)．