Question

已知x，y都是正实数，且x+y＞1．用反证法证明：

y

1+x

＞

1

3

或

x

1+y

＞

1

3

中至少有一个成立．

Answer 1

考点：反证法与放缩法

专题：证明题,反证法,不等式的解法及应用

分析：假设

y

1+x

＞

1

3

与

x

1+y

＞

1

3

都不成立，即

y

1+x

≤

1

3

且

x

1+y

≤

1

3

，根据x，y都是正数可得x+y≤1，这与已知x+y＞1矛盾，故假设不成立．

解答： 证明：假设

y

1+x

＞

1

3

与

x

1+y

＞

1

3

都不成立，即

y

1+x

≤

1

3

且

x

1+y

≤

1

3

，…（2分）
∵x，y都是正数，∴1+x≥3y，1+y≥3x，…（5分）
∴1+x+1+y≥3x+3y，…（8分）
∴x+y≤1…（10分）
这与已知x+y＞1矛盾…（12分）
∴假设不成立，即

y

1+x

＞

1

3

或

x

1+y

＞

1

3

中至少有一个成立…（14分）

点评：本题主要考查用反证法证明数学命题，应先假设要证的命题的否定成立，推出矛盾，是解题的关键和难点，属于中档题．