Question

已知函数f(x)=2cos(2x+

π

4

)，x∈[-

π

4

，

3π

4

]．
（1）若f（x）=1，求x取值的集合．
（2）解不等式f(x)≤-

2

．
（3）求函数f（x）的最大值和最小值，并求取得最大值与最小值时x的取值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）依题意得2x+

π

4

∈[-

π

4

，

7π

4

]，由f（x）=2cos（2x+

π

4

）=1知cos（2x+

π

4

）=

1

2

，利用余弦函数的性质可求得x取值的集合；
（2）当2x+

π

4

∈[-

π

4

，

7π

4

]时，利用余弦函数的单调性解不等式cos（2x+

π

4

）≤-

2

2

即可求得答案；
（3）2x+

π

4

∈[-

π

4

，

7π

4

]，利用余弦函数的最值即可求得函数f（x）的最大值和最小值，及取得最大值与最小值时x的取值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cos（2x+

π

4

）=1，
∴cos（2x+

π

4

）=

1

2

；
又x∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴2x+

π

4

∈[-

π

4

，

7π

4

]，
∴2x+

π

4

=

π

3

或2x+

π

4

=

5π

3

，
解得：x=

π

24

或x=

17π

24

，
∴x取值的集合为{

π

24

，

17π

24

}；
（2）∵2cos（2x+

π

4

）≤-

2

，
∴cos（2x+

π

4

）≤-

2

2

，
又2x+

π

4

∈[-

π

4

，

7π

4

]，
∴

3π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，
解得：

π

4

≤x≤

π

2

，
∴原不等式的解集为{x|

π

4

≤x≤

π

2

}；
（3）∵2x+

π

4

∈[-

π

4

，

7π

4

]，
∴当2x+

π

4

=0，即x=-

π

8

时，f（x）=2cos（2x+

π

4

）取得最大值2，
当2x+

π

4

=π，即x=

3π

8

时，f（x）=2cos（2x+

π

4

）取得最小值-2．

点评：本题考查余弦函数的图象与性质，着重考查余弦函数的单调性与最值，考查综合分析与运算求解能力，属于中档题．