Question

1．分别求出正十五边形任三个顶点所构成的锐角三角形及钝角三角形的个数．

Answer 1

分析 求出正十五边形任三个顶点所构成的三角形，有${C}_{15}^{3}$=455个，直角三角形的个数为0．考虑从正十五边形的某个顶点A出发且∠A为钝角的三角形的个数共有1+2+…+7=21个，故共有15×21=315个钝角的三角形；即可求出锐角三角形的个数．

解答 解：正十五边形任三个顶点所构成的三角形，有${C}_{15}^{3}$=455个．
由题意，15个顶点中的任意两个顶点的连线都不可能是直径，故直角三角形的个数为0．
考虑从正十五边形的某个顶点A出发且∠A为钝角的三角形的个数，设AB为它的外接圆的直径，显然B不是正十五边形的顶点，记从A开始按逆时针方向的顶点依次记为A₁，A₂，…，按顺时针方向的顶点依次为A_-1，A_-2，…，要使得△A_iAA_-j是∠A为钝角的三角形，则i+j≤7，其中i，j≥1，共有1+2+…+7=21个，故共有15×21=315个钝角的三角形；
锐角三角形的个数为455-315=140个．

点评 本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定钝角的三角形的个数是关键．