Question

已知双曲线

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的上、下顶点分别为A、B，一个焦点为F（0，c）（c＞0），两准线间的距离为1，|AF|、
|AB|、|BF|成等差数列．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设过点F作直线l交双曲线上支于M、N两点，如果S_△MON=-

7

2

tan∠MON，求△MBN的面积．

Answer 1

分析：（I）依题意可分别表示出|AF|，|AB|和|BF|，进而根据三者成等差数列建立等式求得a和c的关系，进而利用两准线间的距离求得a和c的另一关系式，联立求得a和c，进而求得b，则双曲线的方程可得．
（II）先利用三角形面积公式表示出△MON的面积，整理求得

OM

•

ON

的值，进而设出M，N的坐标表示出

OM

和

ON

，进而求得x₁x₂+y₁y₂=-7．设出直线MN的方程与双曲线的方程联立，利用判别式和方程的两根的范围求得k的范围，把y₁y₂的表达式代入上式，整理求得k，进而求得三角形MBN的面积．

解答：解：（I）由已知|AF|=c-a，AB=2a，|BF|=c+a，
∴4a=（c-a）+（c+a），即c=2a．
又∵

2a2

c

=1，于是可解得a=1，c=2，b²=c²-a²=3．
∴双曲线方程为y2-

x2

3

=1．
（II）∵S_△MON=

1

2

|OM|•|ON|•sin∠MON，
∴

1

2

|OM|•|ON|•sin∠MON=-

7

2

•

sin∠MON

cos∠MON

整理得|OM|•|ON|•cos∠MON=-7，即

OM

•

ON

=-7．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），于是

OM

=(x1，y1)，

ON

=(x2，y2)，
∴x₁x₂+y₁y₂=-7．
设直线MN的斜率为k，则MN的方程为y=kx+2．
∴

y=kx+2 y2- x2 3 =1

消去y，整理得（3k²-1）x²+12kx+9=0．
∵MN与双曲线交于上支，
∴△=（12k）²-4×9×（3k²-1）=36k²+36＞0，x₁x₂=

9

3k2-1

＜0，x1+x2=

-12k

3k2-1

，
∴k2＜

1

3

．
∴x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=-7，整理得x₁x₂+k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=-7，
代入得：

9

3k2-1

+

9k2

3k2-1

+

-24k2

3k2-1

=-11，解得k2=

1

9

，满足条件．
S_△MBN=

1

2

|BF|•|x2-x1|=

1

2

×3×

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

×3×

144k2 (3k2-1)2 -4• 9 3k2-1

=

1

2

×3×3

10

=

9 10

2

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．查了学生对问题的综合分析和基本的运算能力．