Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+1．（a，b∈R）
（Ⅰ）若f（x）在x=-1处有极值1，求b的值；
（Ⅱ）若a=

3

2

时，f（x）在x∈[0，2]上单调递增，求b的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由f′（x）=3x²+2ax+b，利用导数性质能求出b的值．
（Ⅱ） a=

3

2

时，f'（x）=3x²+3x+b．由此利用导数性质结合已知条件能求出b的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+ax²+bx+1，
∴f′（x）=3x²+2ax+b
∵f（x）在x=-1处有极值1，
∴3-2a+b=0，-1+a-b+1=1
得a=2，b=1
（Ⅱ） a=

3

2

时，f(x)=x3+

3

2

x2+bx+1．
f'（x）=3x²+3x+b．
∴x∈[0，2]时3x²+3x+b≥0
则b≥-3x²-3x，0≤x≤2，
∵0≤x≤2时，-3x²-3x≤0．
∴b≥0，b的最小值为0．

点评：本题考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．