Question

（文）若函数f（x）=-x³+3x²+ax+1在（-∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围是

 

．
（理） 设O为坐标原点，向量

OA

=(1，2，3)，

OB

=(2，1，2)，

OP

=(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当

QA

•

QB

取得最小值时，点Q的坐标为

 

．

Answer 1

分析：（文）由函数f（x）=-x³+3x²+ax+1在（-∞，1]上单调递减转化成f′（x）≤0在（-∞，1]上恒成立，利用参数分离法即可求出a的范围．
（理）可先设Q（x，y，z），由点Q在直线OP上可得Q（λ，λ，2λ），则由向量的数量积的坐标表示可得

QA

•

QB

=2（3λ²-8λ+5），根据二次函数的性质可求，取得最小值时的λ，进而可求Q

解答：（文）解：∵函数f（x）=-x³+3x²+ax+1在（-∞，1]上单调递减，
∴f′（x）=-3x²+6x+a≤0在（-∞，1]上恒成立．
即 a≤3x²-6x在（-∞，1]上恒成立．
∵t=3x²-6x在（-∞，1]上的最小值为-3，
∴a≤-3
∴故答案为：a≤-3．
（理）解：设Q（x，y，z）
由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得

OQ

=λ

OP

，则有Q（λ，λ，2λ）

QA

=(1-λ，2-λ，3-2λ)，

QB

=(2-λ，1-λ，2-2λ)
当

QA

•

QB

=（1-λ）（2-λ）+（2-λ）（1-λ）+（3-2λ）（2-2λ）=2（3λ²-8λ+5）
根据二次函数的性质可得当 λ=

4

3

时，取得最小值 -

2

3

此时Q (

4

3

，

4

3

，

8

3

)
故答案为：(

4

3

，

4

3

，

8

3

)

点评：此题主要考查利用导函数的正负判断原函数的单调性，属于基础题．本题主要考查了平面向量的共线定理的应用，解题的关键是由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得

OQ

=λ

OP

，进而有Q（λ，λ，2λ），然后转化为关于λ的二次函数，根据二次函数知识求解最值，体现了转化思想在解题中的应用．