Question

若函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），则称函数f（x）具有性质P．
（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由．
①y=a^x（a＞1）；    ②y=x³．
（Ⅱ）若函数f（x）具有性质P，且f（0）=f（n）=0（n＞2，n∈N^*），
求证：对任意i∈{1，2，3，…，n-1}有f（i）≤0；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0．若成立给出证明，若不成立给出反例．

Answer 1

分析：（I）①根据已知中函数的解析式，结合指数的运算性质，计算出f（x-1）+f（x+1）-2f（x）的表达式，进而根据基本不等式，判断其符号即可得到结论；②由y=x³，举出当x=-1时，不满足f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），即可得到结论；
（II）由于本题是任意性的证明，从下面证明比较困难，故可以采用反证法进行证明，即假设f（i）为f（1），f（2），…，f（n-1）中第一个大于0的值，由此推理得到矛盾，进而假设不成立，原命题为真；
（III）由（II）中的结论，我们可以举出反例，如f(x)=

x(x-n)x为有理数 x2 x为无理数.

证明对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0不成立．

解答：证明：（Ⅰ）①函数f（x）=a^x（a＞1）具有性质P．…（1分）
f(x-1)+f(x+1)-2f(x)=ax-1+ax+1-2ax=ax(

1

a

+a-2)，
因为a＞1，ax(

1

a

+a-2)＞0，…（3分）
即f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），
此函数为具有性质P．
②函数f（x）=x³不具有性质P．…（4分）
例如，当x=-1时，f（x-1）+f（x+1）=f（-2）+f（0）=-8，2f（x）=-2，…（5分）
所以，f（-2）+f（0）＜f（-1），
此函数不具有性质P．
（Ⅱ）假设f（i）为f（1），f（2），…，f（n-1）中第一个大于0的值，…（6分）
则f（i）-f（i-1）＞0，
因为函数f（x）具有性质P，
所以，对于任意n∈N^*，均有f（n+1）-f（n）≥f（n）-f（n-1），
所以f（n）-f（n-1）≥f（n-1）-f（n-2）≥…≥f（i）-f（i-1）＞0，
所以f（n）=[f（n）-f（n-1）]+…+[f（i+1）-f（i）]+f（i）＞0，
与f（n）=0矛盾，
所以，对任意的i∈{1，2，3，…，n-1}有f（i）≤0．…（9分）
（Ⅲ）不成立．
例如f(x)=

x(x-n)x为有理数 x2 x为无理数.

…（10分）
证明：当x为有理数时，x-1，x+1均为有理数，f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=（x-1）²+（x+1）²-2x²-n（x-1+x+1-2x）=2，
当x为无理数时，x-1，x+1均为无理数，f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=（x-1）²+（x+1）²-2x²=2
所以，函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），
即函数f（x）具有性质P．…（12分）
而当x∈[0，n]（n＞2）且当x为无理数时，f（x）＞0．
所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0”不成立．…（13分）
（其他反例仿此给分．
如f(x)=

0  (x为有理数) 1   (x为无理数)

，f(x)=

0  (x为整数) 1  (x为非整数)

，f(x)=

0    (x为整数) x2  (x为非整数)

，等．）

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，指数函数和幂函数的性质，反证法，其中在证明全称命题为假命题时，举出反例是最有效，快捷，准确的方法．