Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，是线段EF的中点.

（1）求证AM//平面BDE

（2）求二面角A―DF―B的大小

（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°

Answer 1

（1）解：

   

记AC与BD的交点，为O，连接OE。O，M分别是AC、EF的中点且ACEF是矩形，∴四边形AOEM是平行四边形  ∴AM//OE

又OE平面BDE，AM平面BDE.

∴AM//平面BDE

（2）在平面AFD中过A作AS⊥DF于S点，连接BS

∴AB⊥AF

∴AB⊥AD

ADAF=A

∴AB⊥平面ADF

∴AS是BS在平面ADF上的射影，

∴BS⊥DF

∴∠BSA是二面角A―DF―B的平面角

在Rt△ASB中，AS

∴tan∠ASB=

∴∠ASB=60°

∴二面角A―DF―B的大小为60°

（3）设CP=；作PQ⊥AB于Q，则PQ//AD

PQ⊥AB，PQ⊥AF，ABAF=A

∴PQ⊥平面ABF

∴PQ⊥QF

在Rt△PQF中，∠FPQ=60°，PF=2PQ

△PAQ为等腰直角三角形，

∴PQ

又△PAF为Rt△，

∴

∴t=1或t=3（舍）

即P是AC的中点。